Representação de coordenadas por quaterions
Este texto foi retirado e traduzido de https://eater.net/quaternions sem mais alterações. Honestamente, eu não saberia como deixar essa explicação melhor =)
Autoestudo1. Visualizando quaternions
1.1. Quaternions e rotação 3D
Um dos principais usos práticos dos quaternions é em como eles descrevem a rotação 3d. Estes primeiros dois módulos ajudarão você a construir uma intuição de quais quaternions correspondem a quais rotações 3d, embora exatamente como isso funciona permanecerá, por enquanto, um mistério. Análogo a abrir o capô de um carro pela primeira vez, todas as partes serão expostas a você, especialmente à medida que você examina mais de perto, mas entender como tudo se encaixa virá com o tempo. Aqui estamos apenas olhando para o "o quê", antes do "como" e do "porquê".
Quaternions e rotação 3D (intro)Double cover1.2. Projeção estereográfica
Uma coisa que torna os quaternions tão desafiadores é que eles existem e atuam em quatro dimensões, o que é extremamente difícil (impossível?) de visualizar. Felizmente, podemos construir uma intuição para a multiplicação de quaternions e como ela calcula a rotação em 3d apenas focando nos quaternions unitários, aqueles que estão a uma distância 1 da origem. Estes formam uma hiperesfera no espaço 4d, que ainda é realmente difícil de pensar, mas felizmente os matemáticos têm uma ferramenta à sua disposição que torna mais fácil pensar sobre uma hiperesfera completa nos limites de nosso mundo 3d: Projeção estereográfica.
É mais fácil começar a entender essa ideia em um contexto de dimensão inferior, como mapear a superfície de uma esfera em um plano 2d. Os entusiastas da geografia entre vocês saberão que existem muitas táticas diferentes para exibir a superfície da terra em um plano 2d. Aqui está como ficaria usando uma projeção estereográfica:
Em princípio, isso realmente se estenderia para preencher todo o espaço 2d, com a Antártica se estendendo até o infinito. Talvez um método como este, que distorce lo hemisfério sul de forma tão dramática a ponto de dar aos pinguins um território infinito, pareça muito pior do que outros tipos de projeção. Mas para um matemático, esta projeção apresenta uma série de propriedades interessantes. Por exemplo, qualquer círculo desenhado na superfície da terra permanece um círculo após esta projeção. Além disso, não há cortes estranhos ou descontinuidades (desde que consideremos todos os caminhos para fora convergindo para um único "ponto no infinito"). Quando chegarmos à visualização da multiplicação de quaternions, que é toda sobre pensar em rotações contínuas, a ideia de círculos permanecendo círculos e evitando cortes estranhos será realmente bem-vinda.
Para entender como isso funciona, começaremos em duas dimensões e avançaremos a partir daí.
Projeção estereográfica 2DProjeção estereográfica 3DProjeção estereográfica 4D1.3. Multiplicação de Quaternions
Como você multiplica dois números complexos? Bem, você começa usando a lei distributiva.
E então usa a regra que (i^2 = -1) para simplificar ainda mais.
Multiplicar dois quaternions é mais complicado, mas em princípio não muito diferente. Existem algumas regras de como ii, jj e kk se multiplicam entre si, e a multiplicação é realizada distribuindo e simplificando.
Isso é o que os computadores fazem, e é o que seu computador está fazendo nas visualizações que você verá abaixo. Mas saber como calcular produtos é apenas uma forma de entender a multiplicação. Assim como a multiplicação por números reais é mais compreensível ao visualizar um processo de escala ou compressão, e entender a multiplicação complexa é facilitado ao entender como eles rotacionam pontos no plano, a multiplicação de quaternions pode ser entendida olhando como ela transforma o espaço quadridimensional.
Esta não é uma ideia simples nem uma visualização simples, mas com alguma paciência, entender a multiplicação de quaternions desta maneira pode esclarecer por que a multiplicação de quaternions descreve a rotação 3d da maneira que o faz. Limitaremos nossa visão desta ação à hiperesfera unitária, conforme visualizada sob uma projeção estereográfica preenchendo a totalidade do nosso espaço 3d.
Multiplicação de quaternionsRotação de quaternions2. Quatérnios em ROS
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